一阶高通滤波模型

一阶高通滤波器的定义与传递函数

一阶高通滤波器是允许高频分量通过、抑制低频与直流分量的线性时不变系统。其连续时间传递函数可写为

其中 $s$ 为复频率变量，单位 ${\mathrm{s}}^{-1}$；${\omega }_c$ 为截止角频率，单位 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}$。当 $\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }j\omega \mathrm{\mid }\gg {\omega }_c$ 时，$H_{hp}\approx 1$，信号近似无衰减通过；当 $\mathrm{\mid }j\omega \mathrm{\mid }\ll {\omega }_c$ 时，$H_{hp}\approx j\omega \mathrm{/}{\omega }_c$，幅度随频率下降，直流（$\omega =0$）增益为零。

与一阶低通滤波器的互补关系

一阶低通滤波器的传递函数为

两者满足

即同一截止角频率下，低通与高通之和恒为 1。这一关系是互补滤波角度估计的核心：低频段由低通支路主导，高频段由高通支路主导，两路相加后在全频段保持总增益为 1。

角速度输入先积分再高通

陀螺仪输出为角速度 $\dot{\theta }$，单位 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}$。要得到角度，需先积分：

积分对低频噪声与零偏具有累积放大作用，因此积分后再经一阶高通滤波，传递函数为

可见“先积分再高通”在数学上等价于对原始角速度做一阶低通，但物理意义不同：高通环节抑制了积分引入的低频漂移，使陀螺仪支路只在较高频段贡献角度信息。

互补角度估计的复频域表达式

加速度计可提供角位移 ${\theta }_{acc}$（静态时较准，动态时含高频噪声），经一阶低通滤波得

陀螺仪角速度经积分与一阶高通滤波得

两路相加得到角度估计：

整理为

该式表明：估计值由加速度计角位移与陀螺仪角速度共同决定，分母 $s+{\omega }_c$ 对应一阶动态，${\omega }_c$ 决定两路信息的交叉频率。

离散域与差分估计式

将复频域表达式离散化。采用后向差分近似 $s\approx \frac{1-z^{-1}}{T_s}$，其中 $T_s$ 为采样周期，单位 $\mathrm{s}$，$z^{-1}$ 为单位延迟。代入并整理，可得 Z 域形式：

进一步转换为离散时间差分方程：

其中 $\widehat{\theta }[k]$ 为当前时刻角度估计值，$\widehat{\theta }[k-1]$ 为上一时刻角度估计值，${\theta }_{acc}[k]$ 为当前角位移，$\dot{\theta }[k]$ 为当前角速度。该差分方程结构清晰，仅含当前与上一时刻量，便于编程实现。

适用范围与条件

上述推导基于线性时不变假设、后向差分离散化以及两路信号使用同一截止角频率 ${\omega }_c$。当采样周期 $T_s$ 相对系统动态足够小、${\omega }_c{T}_s$ 不过大时，离散近似才合理。若加速度计动态噪声或陀螺仪零偏特性显著变化，需重新评估 ${\omega }_c$ 的选取。

加速度计提供重力主导条件下的倾斜参考，可估计俯仰与横滚，不能单独确定航向；明显平动加速度会干扰该参考。互补滤波须保证坐标、符号、量纲和时间一致，一阶滤波在规定模型和有效频带内近似组合信息，不保证覆盖任意运动的完整频谱。