常系数线性微分方程与线性叠加

常系数线性微分方程

常系数线性微分方程是未知函数及其各阶导数均为一次，且各项系数为常数的微分方程。一般地，若输入为 $x(t)$，输出为 $y(t)$，则方程可写成

其中 $a_i$、$b_j$ 为常数，$n$ 为输出导数的最高阶数，$m$ 为输入导数的最高阶数。方程左端只含输出及其各阶导数的线性组合，右端只含输入及其各阶导数的线性组合。

导数与初始条件

导数描述函数随自变量变化的瞬时变化率。常用求导法则包括：

• 常数倍：$(cf{)}^{\mathrm{\prime }}=c{f}^{\mathrm{\prime }}$
• 和差：$(f\pm g{)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}\pm g^{\mathrm{\prime }}$
• 乘积：$(fg{)}^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}g+f{g}^{\mathrm{\prime }}$
• 链式：$\frac{d}{dt}f(g(t))=f^{\mathrm{\prime }}(g(t))g^{\mathrm{\prime }}(t)$

求解 $n$ 阶常系数线性微分方程时，通解中含有 $n$ 个待定常数。初始条件给出输出及其若干阶导数在初始时刻的值，例如 $y(0)$、$y^{\mathrm{\prime }}(0)$、$\cdots$、$y^{(n-1)}(0)$，用于确定这些常数，从而得到满足具体起始状态的唯一解。

线性叠加原理

若输入 $x_1(t)$ 产生输出 $y_1(t)$，输入 $x_2(t)$ 产生输出 $y_2(t)$，则对任意常数 $c_1$、$c_2$，输入 $c_1{x}_1(t)+c_2{x}_2(t)$ 产生输出 $c_1{y}_1(t)+c_2{y}_2(t)$。特别地，输入 $x_1(t)\pm x_2(t)$ 产生输出 $y_1(t)\pm y_2(t)$；多个输入同时作用时，总响应等于各输入单独作用响应之和。该性质成立的条件是系统为线性系统，且初始条件为零或按线性方式参与。

稳态同频正弦响应

对于常系数线性微分方程描述的线性定常系统，当输入为正弦信号 $x(t)=A\sin (\omega t+\phi )$ 时，稳态输出为同频率正弦信号

其中频率 $\omega$ 保持不变，幅值 $B$ 和相位 $\psi$ 由系统参数和输入频率决定。该性质是线性定常系统频率保持特性的直接体现，也是正弦激励下稳态分析的基础。