频率响应分析法

频率响应函数的由来

传感器是线性定常系统时，其动态特性可由传递函数 $G(s)$ 描述，$s$ 为拉普拉斯复变量，单位 ${\mathrm{s}}^{-1}$。当输入为正弦信号 $x(t)=X\sin (\omega t)$ 时，系统进入稳态后输出仍为同频率正弦信号，只是幅值和相位发生变化。此时令 $s=j\omega$，即得频率响应函数

其中 $\omega$ 为输入正弦信号的角频率，单位 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}$；$j$ 为虚数单位。$G(j\omega )$ 是复函数，可写成

$A(\omega )=\mathrm{\mid }G(j\omega )\mathrm{\mid }$ 称为幅频特性，表示输出与输入幅值之比；$\mathrm{\Phi }(\omega )=\arg G(j\omega )$ 称为相频特性，表示输出相对输入的相位差，单位 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$。

一阶传感器的幅相表达

一阶传感器的传递函数为

$K$ 为静态灵敏度，$\tau$ 为时间常数，单位 $\mathrm{s}$。代入 $s=j\omega$ 得

对分母取模并分离实虚部，得幅频特性和相频特性

$\omega \tau$ 为无量纲频率比。$A(\omega )$ 随 $\omega \tau$ 增大而单调下降，$\mathrm{\Phi }(\omega )$ 随 $\omega \tau$ 增大而单调滞后，最大滞后趋于 $-\pi \mathrm{/}2$。

一阶传感器的近似与减小时间常数的结论

当 $\omega \tau \ll 1$ 时，$1+(\omega \tau {)}^2\approx 1$，故

即幅值比近似为常数，相位差与 $\omega$ 近似成线性关系，输出 $y(t)$ 能较真实地反映输入 $x(t)$ 的变化规律。该近似成立的条件是 $\omega \tau \ll 1$，即工作频率远低于 $1\mathrm{/}\tau$。

由 $A(\omega )$ 与 $\mathrm{\Phi }(\omega )$ 的表达式可见，$\tau$ 越小，同一 $\omega$ 下 $\omega \tau$ 越小，幅值衰减和相位滞后都越小，频率响应特性越好。因此减小时间常数 $\tau$ 是改善一阶传感器频率特性的有效手段。

二阶传感器的幅相表达

二阶传感器的传递函数为

$k$ 为静态灵敏度，${\omega }_n$ 为固有角频率，单位 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{/}\mathrm{s}$；$\zeta$ 为阻尼比，无量纲。代入 $s=j\omega$ 得频率特性

其幅频特性和相频特性分别为

二者均依赖于阻尼比 $\zeta$ 和频率比 $\omega \mathrm{/}{\omega }_n$。$A(\omega )$ 描述增益随频率变化的规律，$\mathrm{\Phi }(\omega )$ 描述相位滞后随频率变化的规律。

幅相频率曲线

以 $\omega$ 为自变量，分别绘制 $A(\omega )$ 与 $\mathrm{\Phi }(\omega )$ 随 $\omega$ 或 $\omega \tau$、$\omega \mathrm{/}{\omega }_n$ 变化的曲线，即幅频曲线和相频曲线，合称幅相频率曲线。一阶系统的幅频曲线随 $\omega \tau$ 增大单调下降，相频曲线单调下降并趋于 $-\pi \mathrm{/}2$；二阶系统的曲线形状由 $\zeta$ 决定，在 $\omega \mathrm{/}{\omega }_n$ 接近 1 附近可能出现幅值峰与相位快速变化。曲线直观给出传感器在不同频率下的幅值失真和相位滞后，是选择工作频段、判断动态误差的依据。

相位计算须保留复数象限：一般用 $\phi =\mathrm{atan2}(H_{\mathrm{I}},H_{\mathrm{R}})$。上面的单参数反正切商式仅在实部为正的频段直接成立；对正增益二阶低通，低于固有角频率可直接取负反正切，等于该频率时相位为 $-\pi \mathrm{/}2$，高于时须选取连续的 $(-\pi ,-\pi \mathrm{/}2)$ 分支，不能遗漏象限修正。幅值增益的单位为输出单位与输入单位之比，只有同量纲或归一化时才是无量纲。