传感器输入输出关系与正弦响应

传感器输入输出关系与正弦响应

一、传感器输入量与输出量之间的关系

传感器的基本功能是将某一物理量（输入量）转换为另一物理量（输出量）。设输入量为 $x$，输出量为 $y$，则传感器的输入-输出关系可表示为

其中 $f$ 为由传感器工作原理和结构决定的映射关系。

通过实验建立该关系的基本步骤为：在传感器工作范围内，对输入量 $x$ 施加一系列已知的标准值 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，同时测量对应的输出量 $y_1,y_2,\dots ,y_n$；将所得数据对 $(x_i,y_i)$ 进行拟合或插值，得到输入-输出关系的数学表达式或特性曲线。

若传感器为线性，则关系简化为

其中 $k$ 为灵敏度，$b$ 为零位输出。

该关系描述的是传感器在静态条件（输入不随时间变化或变化极慢）下的特性，称为静态特性。当输入量随时间变化时，输出不仅取决于当前输入值，还与输入的变化速率有关，此时需用动态特性描述。

二、正弦输入响应

为描述传感器的动态特性，采用正弦信号作为输入。设输入为

其中 $X_m$ 为输入幅值，$\omega$ 为角频率。对于线性传感器，稳态输出仍为同频率的正弦信号，但幅值和相位发生变化：

其中 $Y_m$ 为输出幅值，$\phi$ 为输出相对输入的相位差。

定义幅值比（幅频特性）为

定义相位差（相频特性）为

其中 $Y(j\omega )$ 和 $X(j\omega )$ 分别为输出和输入的傅里叶变换。

幅值比 $A(\omega )$ 和相位差 $\phi (\omega )$ 均随频率 $\omega$ 变化，二者共同构成传感器的频率响应特性。

三、频率响应的实验确定

通过实验确定频率响应的步骤为：

1. 对传感器施加频率为 ${\omega }_i$ 的正弦输入，记录输入幅值 $X_m$ 和输出幅值 $Y_m$，计算幅值比 $A({\omega }_i)=Y_m\mathrm{/}{X}_m$；
2. 测量输出与输入之间的时间差 $\mathrm{\Delta }t$，计算相位差 $\phi ({\omega }_i)=-{\omega }_i\mathrm{\Delta }t$；
3. 在一系列频率 ${\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_n$ 上重复上述步骤；
4. 以频率为横轴，分别绘制 $A(\omega )$ 和 $\phi (\omega )$ 曲线，即得幅频特性曲线和相频特性曲线。

四、与传递函数的关系

对于线性传感器，频率响应与传递函数 $H(s)$ 的关系为

即幅值比 $A(\omega )$ 等于 $H(j\omega )$ 的模，相位差 $\phi (\omega )$ 等于 $H(j\omega )$ 的辐角。因此，正弦输入响应实验可直接用于辨识传感器的传递函数参数。

五、适用条件

上述关系成立的前提为：传感器为线性时不变系统；输入为正弦信号且系统已进入稳态（暂态分量衰减完毕）；输入幅值在工作范围内，不引起非线性效应。