不失真测量条件分析

不失真测量的含义

设传感器输入为 $x(t)$、输出为 $y(t)$。所谓不失真测量，是指输出波形与输入波形形状相同，只允许有固定的比例缩放和固定的时间延迟，即

其中 $K$ 为常数比例系数（无量纲或带量纲，取决于传感器灵敏度），$t_0$ 为固定延迟时间，单位为 s。若 $K$ 随频率变化或 $t_0$ 随频率变化，不同频率分量被不等地缩放或延迟，叠加后波形就会畸变。

对正弦输入 $x(t)=X\sin (\omega t)$，稳态输出写作 $y(t)=Y\sin (\omega t+\mathrm{\Phi })$，$\omega$ 为角频率（单位 rad/s）。定义：

• 幅频特性 $A(\omega )=Y\mathrm{/}X$，即幅值比；
• 相频特性 $\mathrm{\Phi }(\omega )$，即输出相对输入的相位差（单位 rad 或 °）。

不失真条件在频域表述为：在所关心的频率范围内，$A(\omega )$ 近似为常数，$\mathrm{\Phi }(\omega )$ 与 $\omega$ 近似成线性关系。相位与频率成线性意味着各频率分量有相同的延迟 $t_0$，波形形状得以保持。

一阶传感器的不失真条件

一阶传感器的幅频与相频特性为

其中 $K$ 为静态灵敏度，$\tau$ 为时间常数（单位 s）。

当 $\omega \tau \ll 1$ 时，可作近似：

此时幅值比近似与频率无关，相位差与 $\omega$ 成正比，满足不失真条件，输出能真实反映输入的变化规律。可见一阶传感器的不失真测量要求工作在低频段，且时间常数 $\tau$ 越小，可用的不失真频带越宽。因此减小 $\tau$ 是改善一阶传感器频率特性的有效手段。

二阶传感器的不失真条件

二阶传感器的动态特性由固有频率 ${\omega }_n$（单位 rad/s）和阻尼比 $\zeta$（无量纲）决定，其频率特性以频率比 $\omega \mathrm{/}{\omega }_n$ 为自变量。

• 固有频率应尽量大，通常取 ${\omega }_n\ge (3\sim 5)\omega$。当 ${\omega }_n\gg \omega$ 时，$A(\omega )\approx K$（$K$ 为静态灵敏度；若已归一化使 $K=1$，则 $A(\omega )\approx 1$），$\mathrm{\Phi }(\omega )\to 0^{\circ }$，即工作在远低于固有频率的低频段。
• 阻尼比推荐取 $0.6\sim 0.7$。在此范围内，幅频特性的平坦部分最宽，相频特性在尽可能宽的频率范围内接近直线。

因此二阶传感器的不失真测量，是在低频段（$\omega \ll {\omega }_n$）通过选择较大的 ${\omega }_n$ 和约 0.6~0.7 的 $\zeta$，使幅频平坦、相频近线性。

适用范围

上述结论针对传感器在正弦输入下的稳态响应，且讨论限于低频段。$\omega \tau \ll 1$、${\omega }_n\ge (3\sim 5)\omega$、$\zeta =0.6\sim 0.7$ 均为工程近似与推荐取值，超出相应频率范围后幅频不再平坦、相频不再线性，不失真条件不再成立。