二阶系统阻尼与周期换算

二阶系统阻尼与周期换算

一、定义

二阶欠阻尼系统的闭环传递函数标准形式为

G(s)=ωn²/(s²+2ζωn s+ωn²)

其中 ωn 为无阻尼固有角频率（rad/s），ζ 为阻尼比（无量纲）。当 0<ζ<1 时系统为欠阻尼，单位阶跃响应为衰减振荡，其振荡角频率称为有阻尼固有角频率 ωd，满足

ωd=ωn√(1−ζ²)

振荡周期 T 定义为相邻两个同向峰值之间的时间间隔，单位为秒（s）。

二、由振荡周期 T 求 ωd

角频率与周期的基本关系为

ωd=2π/T

该式由周期定义直接得到：一个完整振荡周期对应相位变化 2π rad，故角频率（单位时间内的相位变化）等于 2π 除以周期。

条件：T 必须取自欠阻尼阶跃响应的相邻同向峰值间隔（如第一个峰值到第二个峰值），此时 T 对应 ωd，而非 ωn。

由 ωd=ωn√(1−ζ²) 可知，测得 T 后得到的是 ωd；若还需 ωn，须结合 ζ 一并求解：

ωn=ωd/√(1−ζ²)

三、由超调量 σ 反解阻尼比 ζ

欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的最大超调量（百分比形式的小数，如 16.3% 记为 0.163）为

σ=e^(−ζπ/√(1−ζ²))

两边取自然对数（ln 为以 e 为底的对数，满足 ln(e^x)=x）：

ln σ=−ζπ/√(1−ζ²)

令 A=−ln σ=ln(1/σ)，则 A>0（因 0<σ<1），于是

A=ζπ/√(1−ζ²)

两边平方并整理：

A²(1−ζ²)=ζ²π²

A²=A²ζ²+ζ²π²=ζ²(A²+π²)

ζ²=A²/(A²+π²)

ζ=A/√(A²+π²)，A=ln(1/σ)

条件：0<ζ<1（欠阻尼），σ 为小数形式的超调量且 0<σ<1，故 ln σ<0，A>0，开方取正根。

四、两式联用

若已知 T 与 σ，可先由 σ 求 ζ，再由 T 求 ωd=2π/T，最后由 ωn=ωd/√(1−ζ²) 求 ωn。

符号与条件汇总：

• T：振荡周期，s，取相邻同向峰值间隔；
• ωd：有阻尼固有角频率，rad/s，ωd=2π/T；
• σ：超调量，小数，0<σ<1；
• ζ：阻尼比，0<ζ<1，ζ=ln(1/σ)/√(ln²(1/σ)+π²)；
• ωn：无阻尼固有角频率，rad/s，ωn=ωd/√(1−ζ²)。

以上换算仅适用于欠阻尼（0<ζ<1）二阶系统；临界阻尼与过阻尼无振荡周期与超调量，不适用本组公式。