复数模与辐角

复数代数形式与极坐标形式

复数 $z$ 的代数形式为

其中 $a,b\in \mathbb{R}$，$\mathrm{j}$ 为虚数单位，满足 ${\mathrm{j}}^2=-1$。$a$ 称为实部，记作 $\mathrm{Re}(z)=a$；$b$ 称为虚部，记作 $\mathrm{Im}(z)=b$。

复数 $z$ 的极坐标形式为

其中 $r\ge 0$ 为模，$\theta$ 为辐角。

模的定义与计算

复数 $z=a+b\mathrm{j}$ 的模定义为

模是非负实数，表示复平面上点 $(a,b)$ 到原点的距离。模满足 $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\ge 0$，且 $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=0$ 当且仅当 $z=0$。

辐角的定义

辐角 $\theta$ 是复平面上从正实轴到向量 $(a,b)$ 的角，满足

辐角不是单值的：若 $\theta$ 是 $z$ 的一个辐角，则 $\theta +2k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）也是辐角。通常取主值 $\theta \in (-\pi ,\pi ]$ 或 $[0,2\pi )$，分别称为主辐角或辐角主值。

由实部、虚部求辐角：象限与 atan2

仅用 $\arctan (b\mathrm{/}a)$ 不能唯一确定辐角，因为 $\arctan$ 的值域为 $(-\pi \mathrm{/}2,\pi \mathrm{/}2)$，无法区分相差 $\pi$ 的两个方向。正确做法是根据 $a,b$ 的符号确定象限，再选取辐角。

常用函数 $\mathrm{atan2}(b,a)$ 定义为：

• 当 $a>0$ 时，$\mathrm{atan2}(b,a)=\arctan (b\mathrm{/}a)$；
• 当 且 $b\ge 0$ 时，$\mathrm{atan2}(b,a)=\arctan (b\mathrm{/}a)+\pi$；
• 当 且 时，$\mathrm{atan2}(b,a)=\arctan (b\mathrm{/}a)-\pi$；
• 当 $a=0$ 且 $b>0$ 时，$\mathrm{atan2}(b,a)=\pi \mathrm{/}2$；
• 当 $a=0$ 且 时，$\mathrm{atan2}(b,a)=-\pi \mathrm{/}2$；
• 当 $a=0$ 且 $b=0$ 时，$\mathrm{atan2}(0,0)$ 无定义。

$\mathrm{atan2}(b,a)$ 的值域为 $(-\pi ,\pi ]$，能按实部、虚部符号返回正确象限的辐角。

代数形式与极坐标形式的转换

由代数形式到极坐标形式：

由极坐标形式到代数形式：

模与辐角的基本运算

设 $z_1=r_1{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\theta }_1}$，$z_2=r_2{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\theta }_2}$，则

因此

共轭复数的模与辐角

$z=a+b\mathrm{j}$ 的共轭为 $\bar{z}=a-b\mathrm{j}$。若 $z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\theta }$，则 $\bar{z}=r{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\theta }$。因此

相位分支与连续相位

辐角主值在负实轴处存在跳变：当 $z$ 从上半平面越过负实轴进入下半平面时，$\mathrm{atan2}(b,a)$ 从接近 $\pi$ 跳变到接近 $-\pi$。若需要连续相位，可在计算中逐点比较相邻相位，当差值超过 $\pi$ 时加减 $2\pi$ 进行修正。

在频率响应中的用法

若频率响应函数为 $G(\mathrm{j}\omega )=H_R(\omega )+\mathrm{j}{H}_I(\omega )$，则幅频特性与相频特性分别为

其中 $H_R(\omega )=\mathrm{Re}G(\mathrm{j}\omega )$，$H_I(\omega )=\mathrm{Im}G(\mathrm{j}\omega )$。使用 $\mathrm{atan2}$ 可保留象限信息，避免仅用 $\arctan (H_I\mathrm{/}{H}_R)$ 造成相位相差 $\pi$ 的错误。