电容式传感器线性读出分析

容抗作为输出量的线性读出

平行板电容器的电容为 C=εS/d，其中 ε 为极板间介质的介电常数（单位 F/m），S 为极板有效面积（单位 m²），d 为极板间距（单位 m）。当电容接在角频率为 ω（单位 rad/s）的交流电路中时，其容抗为 XC=1/(ωC)=d/(ωεS)。该式表明，在 ω、ε、S 恒定的条件下，容抗 XC 与极距 d 成正比，且变化量 ΔXC 也与 Δd 成正比。因此，若以容抗 XC 作为输出量，则被测量 d 与输出量 XC 之间呈线性关系，且无需满足 Δd≪d 的近似条件。

变面积与变介质传感器的线性度

对于变面积型（S 变化）和变介电常数型（ε 变化）电容传感器，在忽略边缘效应的理想情况下，C 与 S 或 ε 呈线性关系，线性良好。但实际中边缘效应导致电场分布不均匀，会引起非线性并降低灵敏度。

运算放大器式测量电路

电路结构：交流源 Ui 经固定电容 C 接入运放反相输入端，反馈支路为传感器电容 Cx，输出为 Uo。基于理想运放的“虚短”（两输入端电位近似相等）和“虚断”（输入电流近似为零），流入反相输入端的电流满足 Ic=-Ix。由此可导出：

Uo = -Ui·(C/Cx)

将 Cx=εS/d 代入，得：

Uo = -Ui·(C/(εS))·d

该式表明输出电压 Uo 与极距 d 成正比，从而克服了变极距型电容传感器的非线性。该电路要求放大器开环放大倍数 A 和输入阻抗 Zi 足够大，以保证虚短虚断条件成立。

差动电容的差和比输出

对于差动式电容传感器，通用输出电压公式为：

Uo = ((Cx1-Cx2)/(Cx1+Cx2))·U1

其中 Cx1、Cx2 为差动电容，U1 为激励电压。

差动变极距型：设极间距离分别为 δ1、δ2，面积均为 S，介电常数均为 ε，则 Cx1=εS/δ1，Cx2=εS/δ2。代入差和比公式得：

Uo = ((δ2-δ1)/(δ1+δ2))·U1

差动变面积型：设面积分别为 S1、S2，极距均为 δ，介电常数均为 ε，则 Cx1=εS1/δ，Cx2=εS2/δ。代入得：

Uo = ((S1-S2)/(S1+S2))·U1

该电路对差动式电容传感器的线性化效果取决于传感几何：差动变极距型需两极距之和 δ1+δ2 恒定（即两电容按差动方式反向变化），差动变面积型需两极板覆盖面积之和 S1+S2 恒定，且两电容的介电常数、极距（或面积）等其余参数匹配。满足上述条件时，差和比输出 Uo 才与位移成理论线性关系；若两电容之和随被测量变化，则输出不再线性。因此不能泛化到任意差动式电容传感器。

电容本体非线性与电路输出线性的区分

电容式传感器本体（如变极距型）的 C 与 d 呈反比关系，本身是非线性的。但通过运算放大器电路或差动脉宽调制电路，可将输出量转换为与 d 成线性关系的电压信号。因此，需区分“电容本体非线性”与“电路输出线性”：前者是传感器固有特性，后者是测量电路通过特定结构（如运放反馈、差和比运算）实现的线性化效果。

适用条件

上述线性化结论均建立在理想运放（开环增益 A→∞、输入阻抗 Zi→∞）、高阻负载以及对称差动结构的条件下。实际应用中，边缘效应、运放非理想特性及负载效应均可能引入误差。