电容反馈运算放大器测量电路

电路结构

运算放大器式测量电路以理想运算放大器为核心。交流激励源 $U_i$ 经固定电容 $C$ 接入运放的反相输入端，反馈支路为传感器电容 $C_x$，同相输入端接地，输出为 $U_o$。

虚短与虚断条件

理想运放工作在线性区时满足两条基本条件：

• 虚短：两输入端电位近似相等。同相端接地，故反相端近似为虚地，$U_{-}\approx 0$。
• 虚断：输入电流近似为零，流入反相端的电流可忽略。

因此流入反相节点的电流代数和为零，即流过固定电容 $C$ 的电流 $I_C$ 与流过传感器电容 $C_x$ 的电流 $I_x$ 相等，$I_C=I_x$。

传递关系推导

对电容有 $I=U\cdot j\omega C$。固定电容两端电压为 $U_i-U_{-}\approx U_i$，故

传感器电容两端电压为 $U_{-}-U_o\approx -U_o$，故

由 $I_C=I_x$ 得

消去 $j\omega$ 后得到

与变极距型传感器的关系

平行板电容传感器 $C_x={\displaystyle \frac{\epsilon S}{d}}$，其中 $\epsilon$ 为极板间介质的介电常数（单位 F/m），$S$ 为极板有效面积（单位 m²），$d$ 为极距（单位 m）。代入上式得

当 $U_i$、$C$、$\epsilon$、$S$ 固定时，$U_o$ 与极距 $d$ 成线性关系。这正是该电路能克服变极距型电容传感器非线性（$C_x$ 与 $d$ 成反比）的原因：电容比 $C\mathrm{/}{C}_x$ 把 $1\mathrm{/}d$ 关系翻转成 $d$ 的正比关系。

符号与单位

• $U_i$：交流激励电压，V
• $U_o$：输出电压，V
• $C$：固定输入电容，F
• $C_x$：传感器电容，F
• $\epsilon$：介电常数，F/m
• $S$：极板有效面积，m²
• $d$：极距，m
• $\omega$：激励角频率，rad/s

对放大器的要求与适用范围

推导依赖虚短与虚断，因此要求放大器开环放大倍数 $A$ 和输入阻抗 $Z_i$ 足够大，使反相端真正接近虚地、输入电流可忽略。该电路适用于以变极距型电容传感器为反馈元件的测量，输出与极距成正比；固定电容 $C$ 与传感器电容 $C_x$ 构成反相电容比关系，输出相位与输入相反。