多变量函数与实验数据拟合

多变量函数与实验数据拟合

一、函数与多变量函数

设 $D$ 是一个非空实数集合。若对 $D$ 中每一个实数 $x$，按照某个确定的对应关系 $f$，都有唯一确定的实数 $y$ 与之对应，则称 $f$ 是定义在 $D$ 上的函数，记作

其中 $D$ 称为函数的定义域，即自变量 $x$ 允许取值的集合；所有函数值组成的集合称为值域，即

对应关系 $f$ 是函数的核心：定义域与对应关系确定后，值域随之确定。

当影响结果的量不止一个时，需要把函数概念推广到多变量情形。设 $D$ 是 $n$ 维实数空间中的非空点集，若对 $D$ 中每一点 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，按照确定的对应关系 $f$，都有唯一确定的实数 $y$ 与之对应，则称 $f$ 是定义在 $D$ 上的 $n$ 元函数，记作

其中 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是自变量，$y$ 是因变量，$D$ 是定义域。二变量情形 $y=f(x_1,x_2)$ 在实验中最常见：两个可控条件同时变化，输出随之变化。

二、被测量、参数与自变量、因变量

在测量与实验中，需要确定其值的量称为被测量。被测量的值往往不是固定不变的，而是受到若干条件的影响。这些可独立取值、并影响系统输出的量称为参数。

把参数视为自变量，把被测量视为因变量，则被测量与参数之间的关系可表示为多变量函数：

其中 $y$ 表示被测量，$x_1,x_2,\dots ,x_n$ 表示各参数。这里“自变量”强调可独立变化，“因变量”强调随自变量变化而变化，“参数”强调其取值可独立设定并影响输出。三者是同一关系在不同语境下的称呼：在函数语言中叫自变量与因变量，在实验语言中叫参数与被测量。

三、实验数据的统计分析

实验得到的数据通常是一组离散点：

统计分析的任务是从这些离散数据中提取规律。基本步骤包括：

1. 整理数据：检查异常值、缺失值与量纲，必要时统一单位。
2. 描述数据：计算均值、方差等统计量，观察数据的集中趋势与离散程度。
3. 建立关系：选择函数模型 $y=f(x_1,x_2,\dots ,x_n;{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_p)$，其中 ${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_p$ 是待定参数。
4. 拟合：调整待定参数，使模型在某种准则下尽量接近实验数据点。
5. 验证：用未参与拟合的数据或重复实验检验模型是否成立。

四、拟合

拟合是用函数模型逼近实验数据点的方法。设模型为 $y=f(x;\theta )$，其中 $x$ 为自变量，$\theta$ 为待定参数。最小二乘准则要求使残差平方和

达到最小。使 $S(\theta )$ 取最小的 $\theta$ 称为最小二乘估计。对线性模型 $y=a+bx$，令 $\mathrm{\partial }S\mathrm{/}\mathrm{\partial }a=0$、$\mathrm{\partial }S\mathrm{/}\mathrm{\partial }b=0$，可得正规方程，解出 $a$、$b$ 即得拟合直线。多变量线性模型 $y={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+\cdots +{\theta }_n{x}_n$ 同理，只是待定参数更多。

拟合的前提是模型形式已知或已选定；模型形式选择不当，拟合再好也不能反映真实规律。

五、作图

作图是把实验数据绘制成图形以观察关系的方法。单自变量时，以自变量为横轴、因变量为纵轴描点，可直观看出趋势、线性程度与异常点。多自变量时，可固定部分自变量，只画因变量与其中一个自变量的关系曲线，或使用等高线、三维曲面等方式表示。

作图与拟合配合使用：先作图观察大致趋势，再选择模型形式，最后用拟合确定参数。图形还能帮助发现数据中的非线性、饱和、突变等特征，为模型选择提供依据。

六、关系小结

• 函数由定义域、值域与对应关系三要素确定。
• 多变量函数把输出表示为多个自变量的函数。
• 实验中，被测量是因变量，参数是自变量。
• 统计分析对实验数据进行整理、描述与推断。
• 拟合用函数模型逼近数据点，常用最小二乘准则。
• 作图把数据绘成图形，用于观察关系与辅助选模型。