测量误差

测量误差的定义

测量误差（Measuring Error）是示值（测量仪表或量具所指示的量值）与被测量实际值（或真值）之差。真值是在一定时间和空间条件下能准确反映被测量真实状态的数值，分为理论真值和约定真值；实际值是在满足规定准确度时用以代替真值使用的值；参考量值不必为均值，均值估计真实量值须说明零均值与偏差条件。由于真值无法准确得到，测量误差实际上是无法准确得到的，实际处理中常用实际值代替真值。

误差的表示

绝对误差是测量值 $x$ 与真值 $L$ 的差值：

由于真值 $L$ 无法知道，实际处理时用测量值 $x$ 代替真值计算示值相对误差（分母为示值 $x$，仅当 $x\mathrm{\ne }0$ 且误差较小时可近似反映相对误差）：

引用误差是相对于仪表满量程的误差，用绝对误差除以满量程 $x_{\mathrm{m}}$（测量范围上限与下限之差）的百分数表示：

仪表的精度等级根据引用误差确定；精度等级取决于仪表类型与适用标准，不能将某类仪表的等级系列推广为国家标准全部仪表仅七级。基本误差是仪表在规定标准条件下所具有的引用误差；附加误差是使用条件偏离标准条件时出现的误差，如温度、压力、频率、电源电压波动附加误差等。

误差的来源

测量误差的主要来源包括：测量环境误差（工作环境与规定标准状态不一致，如温度、湿度、大气压力、振动、重力加速度、电磁干扰等）；测量装置误差（仪表本身不完善或精度不高，包括标准量具误差、仪器误差、附件误差）；测量方法误差（测量方法不合理或不完善，如未正确估计电压表内阻、使用近似公式或简化模型）；测量人员误差（专业素质不高、分辨力不强、操作不规范或疏忽大意）。

误差的分类

按误差的特征或性质分为三类：

系统误差：由测量系统性能不完善、方法不完善、使用不当、环境条件变化等引起。特点是对同一被测量多次重复测量时，误差大小和符号保持不变，或按一定规律出现。系统误差的大小表明测量结果的准确度，可通过实验或分析查明规律和原因，通过修正或预防措施消除或减少。

随机误差：对同一被测量多次重复测量时，绝对误差的绝对值和符号不可预知地随机变化，但总体具有统计规律性。由许多独立的、微小的、偶然因素综合引起，一般无法控制。随机误差的大小表明测量结果的分散性，用精密度表示。

粗大误差：明显偏离测量结果的误差，也称疏忽误差或过失误差，由测量者粗心大意或环境条件突然变化引起，含有粗大误差的测量数据应从测量结果中剔出。

此外，按被测量随时间变化情况分为静态误差（被测量变换缓慢或不变）和动态误差（被测量快速变化）；按误差来源分为工具误差和方法（理论）误差；按使用条件分为基本误差和附加误差；按误差与被测量的关系分为定值误差（不随被测量变化）和累积误差（与被测量成比例变化）。

精度

精度反映测量结果与真值的接近程度，误差小则精度高。精度分为：准确度反映测量结果与真值的接近程度，与正确度和精密度相关，不应一般定义成只受系统误差影响；精密度反映随机误差的影响程度，即测量结果的分散程度；精确度反映系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量不确定度或极限误差表示。精密度高的准确度不一定高，准确度高的精密度也不一定高，但精确度高则两者都高。

测量误差的处理框架

对已知系统偏差，通过检定由高一级标准或基准给出受检测系统的修正值 $C$：

测量时将修正值加入测量值中，即 $A=x+C$，从而减小系统误差；修正估计偏差仍有残余偏差及修正量不确定度，不能保证彻底消除系统误差。修正值可以是具体数值，也可以是曲线、公式或数表。

对随机误差，改善测量条件以减少产生随机误差的因素，从而减小标准差、提高精密度，但会导致测量成本提高。

对可重复的等精度测量，采用多次测量求平均值。基于辛钦大数定理，相互独立、同分布且数学期望有限的随机变量序列，其均值依概率收敛于期望值。在等精度测量中，第 $i$ 次测量结果 $x_i$ 可表示为真值 $A_0$ 与随机误差 ${\delta }_i$ 之和，$n$ 次测量的平均值 $\bar{x}$ 等于真值 $A_0$ 加上随机误差的算术平均值；当测量次数 $n$ 足够大时，随机误差的平均值依概率趋于零，从而使 $\bar{x}$ 依概率收敛于真值 $A_0$。此方法仅在允许多次重复测量时可用。

贝塞尔分母修正使样本方差无偏，样本标准差本身一般并不无偏；有限样本计算所得均方根是估计量，不能与未知总体参数直接恒等。均值标准误差 $s\mathrm{/}\sqrt{n}$ 是独立同分布条件下的估计；均值趋于真值还需误差零均值。正态总体已知标准差时可用正态区间，未知标准差且小样本时均值区间应使用相应t分布系数，不能直接把1σ、3σ覆盖概率当作任意小样本的严格置信概率。