霍尔元件

霍尔效应与霍尔电压

当载流导体或半导体处于与电流方向垂直的磁场中时，运动载流子在洛伦兹力作用下发生偏转，在垂直于电流和磁场的方向上产生电位差，这一现象称为霍尔效应，产生的电动势称为霍尔电压。

设矩形薄片长 $l$、宽 $b$、厚 $d$，沿长度方向通以控制电流 $I$，沿厚度方向施加磁感应强度 $B$。载流子（电子）除定向运动外，还受洛伦兹力 $f_{\mathrm{L}}=eBv$ 作用向一侧偏转，其中 $e$ 为电子电荷量（$1.6\times {10}^{-19}\mathrm{C}$），$v$ 为载流子平均漂移速度。偏转导致电荷积累，形成附加内电场 $E_{\mathrm{H}}$（霍尔电场）。当电场力与洛伦兹力达到动态平衡时，$e{E}_{\mathrm{H}}=eBv$，即 $E_{\mathrm{H}}=Bv$。霍尔电压为 $U_{\mathrm{H}}=E_{\mathrm{H}}b=Bvb$。

霍尔电压表达式与材料参数

由电流定义 $I=nevbd$（$n$ 为载流子浓度），可得

定义霍尔系数的幅值 $\mathrm{\mid }{R}_{\mathrm{H}}\mathrm{\mid }=\frac{1}{ne}$，霍尔灵敏度 $K_{\mathrm{H}}=\frac{1}{ned}$，则霍尔电压幅值为

若采用带符号霍尔系数，则对电子导电取 $R_{\mathrm{H}}=-\frac{1}{ne}$，对空穴导电取 $R_{\mathrm{H}}=+\frac{1}{pe}$；本卡以下公式中的 $R_{\mathrm{H}}$ 均按幅值使用。

对于 N 型半导体（多数载流子为电子），霍尔系数为负；对于 P 型半导体（多数载流子为空穴），霍尔系数为正。霍尔灵敏度 $K_{\mathrm{H}}$ 表征单位控制电流和单位磁感应强度下产生的霍尔电压，单位为 $\mathrm{V}\mathrm{/}(\mathrm{A}\cdot \mathrm{T})$。

若磁场 $\mathbf{B}$ 与霍尔片法线 $\mathbf{n}$ 的夹角为 $\theta$，则有效磁场为法线分量 $B\cos \theta$，霍尔电压为 $U_{\mathrm{H}}=K_{\mathrm{H}}IB\cos \theta$。仅给出磁场与电流方向的夹角不能唯一确定法线分量，因为磁场可在片面内仍与电流垂直；一般应取 $B\cos \theta$，其中 $\theta$ 为 $\mathbf{B}$ 与片法线 $\mathbf{n}$ 的夹角。

恒压激励下的霍尔电压

当霍尔元件由恒压源 $U_{\mathrm{c}}$ 供电时，电场强度 $E=U_{\mathrm{c}}\mathrm{/}l$，载流子迁移率 $\mu =v\mathrm{/}E$，代入可得

此时霍尔电压正比于迁移率 $\mu$、宽度 $b$ 和激励电压 $U_{\mathrm{c}}$，反比于长度 $l$。灵敏度 $K_{\mathrm{H}}=\frac{\mu b{U}_{\mathrm{c}}}{lI}$。

材料选择依据

由 $K_{\mathrm{H}}=1\mathrm{/}(ned)$ 可知，灵敏度与载流子浓度 $n$ 成反比。金属自由电子浓度过高，霍尔效应极弱，不适用。半导体载流子浓度低，可获得显著霍尔电压。

电子迁移率通常高于空穴迁移率（具体比较依材料、温度和掺杂而定），故制作霍尔元件常选用 N 型半导体材料，常用材料有硅（Si）、锗（Ge）、锑化铟（InSb）和砷化铟（InAs）等。但需注意，恒流下的 KH=1/(ned) 不直接依赖迁移率；迁移率 μ 只在恒压供电的输出关系中出现。选择时还需综合考虑线性度、温度系数和加工难度。半导体材料对环境温度敏感，温度系数较大。

薄片结构与几何尺寸

为提高灵敏度，霍尔元件常制成薄片状（故称霍尔片），厚度 $d$ 通常为 $0.1\sim 0.2\mathrm{m}\mathrm{m}$，薄膜型厚度可至 $1\mu \mathrm{m}$ 左右。典型尺寸为 $4\mathrm{m}\mathrm{m}\times 2\mathrm{m}\mathrm{m}\times 0.1\mathrm{m}\mathrm{m}$，其中沿电流方向为长边 $l=4\mathrm{m}\mathrm{m}$，宽度 $b=2\mathrm{m}\mathrm{m}$，习惯取 $l\mathrm{/}b=2$。

有限长宽比修正：上述公式假设元件长度为无穷大。实际元件长宽比 $l\mathrm{/}b$ 有限时，引入影响系数 $f_{\mathrm{H}}(l\mathrm{/}b)$，修正为

当 $l\mathrm{/}b>2$ 时，$f_{\mathrm{H}}$ 接近 1，实际设计取 $l\mathrm{/}b=2$ 已足够。过大的长宽比会增加输入功耗。

电极与接触要求

理想条件下，控制电极应为良好的面接触，霍尔电极应为点接触。实际霍尔电极具有一定宽度 $S$。当 时，电极宽度对霍尔电压的影响可以忽略。

基本结构与符号

霍尔元件由霍尔片、引脚和壳体三部分组成。霍尔片为矩形半导体单晶薄片，长度方向两端焊有控制电流引线（激励电极），另两侧端面中央对称焊有输出引线（霍尔电极）。壳体用非导磁金属、陶瓷或环氧树脂封装。

四端符号中，控制电极（1、1'）用于施加控制电流，输出电极（2、2'）用于引出霍尔电势。常用电路符号有矩形带标注、矩形内标“H”、矩形内标“×”及十字形等。

基本特性

线性特性：霍尔电压 $U_{\mathrm{H}}$ 与控制电流 $I$ 和磁感应强度 $B$ 成线性关系，输出模拟量。开关特性：霍尔电压在一定区域随 $B$ 增加迅速增加，输出数字量。

不等位电阻 $r_{\mathrm{o}}=U_{\mathrm{o}}\mathrm{/}I$，其中 $U_{\mathrm{o}}$ 为未加磁场时的不等位电动势。产生原因包括：霍尔电极安装位置不对称或不在同一等电位上；半导体材料不均匀造成电阻率不均匀或几何尺寸不对称；激励电极接触不良造成激励电流不均匀分配。

负载特性：霍尔电极间开路或测量仪表阻抗无穷大时测得理论霍尔电压；接负载时因流过霍尔电流在内阻上产生压降，实际值略小。

温度特性：温度影响霍尔电压、灵敏度、输入阻抗和输出阻抗，归结为霍尔系数和电阻率与温度的关系。