洛伦兹力

洛伦兹力的定义与大小

磁场对运动电荷施加的作用力称为洛伦兹力。当电荷量大小为 $e$、运动速率为 $v$、磁感应强度为 $B$，且速度方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力的大小为

式中 $e$ 为单个电子的电荷量，$e=1.6\times {10}^{-19}\mathrm{C}$；$B$ 为磁感应强度，单位特斯拉（T）；$v$ 为载流子的平均定向运动速度，单位米每秒（m/s）；$f_{\mathrm{L}}$ 的单位为牛顿（N）。该式适用于速度方向与磁场方向垂直的情形，此时力最大；若速度与磁场平行，则洛伦兹力为零。

载流子偏转与电荷积累

将一块长度为 $l$、宽度为 $b$、厚度为 $d$ 的长方体导电板置于与电流方向垂直的磁场中，并沿长度方向通入控制电流 $I$。板内载流子在电场驱动下定向运动，同时受到洛伦兹力作用而发生横向偏转：正、负电荷分别向相对的两个侧面聚集。

电荷积累在板的两侧建立附加内电场 $E_{\mathrm{H}}$，称为霍尔电场。该电场对载流子施加与洛伦兹力方向相反的电场力，阻碍电荷继续积聚。当电场力与洛伦兹力大小相等时达到动态平衡，电荷不再积聚，两侧形成稳定的电位差，即霍尔电压 $U_{\mathrm{H}}$。

力平衡与霍尔电场

平衡条件为洛伦兹力等于电场力：

由此得霍尔电场

霍尔电压等于霍尔电场与导体宽度 $b$ 的乘积：

从电流定义导出霍尔电压公式

设载流子浓度为 $n$，载流子定向运动平均速度为 $v$，导体厚度为 $d$，宽度为 $b$。电流定义为单位时间内流过导体截面积的电荷量。对 P 型半导体（多数载流子为空穴，电流方向与空穴运动方向相同），电流可表示为

由此得

代入 $U_{\mathrm{H}}=Bvb$，得

该式表明霍尔电压与电流 $I$ 和磁感应强度 $B$ 成正比，与载流子浓度 $n$、电荷量 $e$ 和导体厚度 $d$ 成反比。

N 型与 P 型半导体的霍尔电势方向

载流子类型不同，霍尔电势的极性不同。

• N 型半导体中多数载流子为电子（负电荷），电流方向与电子运动方向相反。电子受洛伦兹力偏转后，负电荷聚集于一侧，该侧电位较低。
• P 型半导体中多数载流子为空穴（正电荷），电流方向与空穴运动方向相同。空穴受洛伦兹力偏转后，正电荷聚集于一侧，该侧电位较高。

因此在电流方向一致的情况下，N 型与 P 型半导体在相同磁场中产生的霍尔电压极性相反。判断洛伦兹力方向时可用左手定则，但左手定则中的电流方向取正电荷运动方向或常规电流方向；对电子等负电荷，其受力方向与按左手定则所得方向相反。也可直接用矢量式 $\mathit{F}=q(\mathit{v}\times \mathit{B})$ 判断：正电荷 $q>0$ 时受力方向与 $\mathit{v}\times \mathit{B}$ 同向，负电荷 时反向。需注意与安培力区分：安培力是磁场对整段载流导体的宏观作用力，洛伦兹力是磁场对单个运动电荷的微观作用力。

霍尔系数与霍尔灵敏度

不同材料霍尔效应的特征量可归纳如下：

霍尔电压与霍尔系数或霍尔灵敏度的关系为

式中 $R_{\mathrm{H}}$ 为霍尔系数，单位 ${\mathrm{m}}^3\mathrm{/}\mathrm{C}$；$K_{\mathrm{H}}$ 为霍尔灵敏度，单位 $\mathrm{V}\mathrm{/}(\mathrm{A}\cdot \mathrm{T})$ 或 $\mathrm{m}\mathrm{V}\mathrm{/}(\mathrm{m}\mathrm{A}\cdot \mathrm{T})$。

适用范围与条件

上述推导基于以下条件：载流子速度方向与磁场方向垂直；导体为均匀长方体，电流均匀分布；达到动态平衡后电荷不再积聚；忽略载流子速度的统计分布，以平均速度 $v$ 描述。霍尔效应在金属中较弱，在半导体中较显著，因此霍尔元件多采用半导体材料制造。