霍尔效应

霍尔效应的定义

当载流导体或半导体处于与电流方向相垂直的磁场中时，在其垂直于电流和磁场方向的两端将产生电位差，这一现象称为霍尔效应，产生的电动势称为霍尔电压。

载流子偏转与电荷积累

以长方体导电板为例，长度方向通入控制电流 I，厚度方向施加磁感应强度 B。导电板中的载流子（电子或空穴）在电场作用下定向运动，速度为 v。运动载流子受到洛伦兹力 f_L = eBv（e 为单个电子电荷量，e = 1.6×10⁻¹⁹ C；B 为磁感应强度；v 为载流子平均运动速度）。洛伦兹力方向由左手定则判断：左手定则中四指指向正电荷运动方向（或常规电流方向），使载流子向导电板一侧偏转；对电子等负电荷，实际受力方向与按左手定则所得方向相反。由此导致该侧积累电荷（电子或空穴），另一侧积累相反电荷，形成附加内电场 E_H，称为霍尔电场。

电场力与洛伦兹力平衡

霍尔电场对载流子施加电场力 f_H = eE_H，方向与洛伦兹力相反，阻止电荷继续积累。当电荷积累达到动态平衡时，电场力与洛伦兹力大小相等：eE_H = eBv，因此 E_H = Bv。此时导电板两侧的电位差即为霍尔电压 U_H = E_H b（b 为导电板宽度），即 U_H = Bvb。

霍尔电压的推导

设载流子浓度为 n，导电板厚度为 d，宽度为 b。电流 I 与载流子运动速度 v 的关系为 I = nevbd（对于 P 型半导体，载流子为空穴，电流方向与空穴运动方向相同；对于 N 型半导体，载流子为电子，电流方向与电子运动方向相反，此时电流表达式为 I = -nevbd）。将 v = I/(nebd) 代入 U_H = Bvb，得 U_H = IB/(ned)。对于 N 型半导体，霍尔电压为负值，即 U_H = -IB/(ned)；对于 P 型半导体，U_H = IB/(ned)。

霍尔系数与霍尔灵敏度

霍尔电压可表示为 U_H = R_H (IB/d) = K_H IB，其中 R_H 为霍尔系数，K_H 为霍尔灵敏度。对于 N 型半导体，R_H = -1/(ne)，K_H = -1/(ned)；对于 P 型半导体，R_H = 1/(ne)，K_H = 1/(ned)。霍尔灵敏度 K_H 表征霍尔元件在单位控制电流和单位磁感应强度下产生的霍尔电压大小。

方向判断与 N/P 型输出极性

霍尔电压的方向取决于载流子类型。在相同电流方向和磁场方向下，N 型半导体（电子为多数载流子）与 P 型半导体（空穴为多数载流子）的霍尔电压极性相反。判断时，先确定载流子运动方向（电子与电流方向相反，空穴与电流方向相同），再用左手定则判断洛伦兹力方向：左手定则中四指指向正电荷运动方向（或常规电流方向），对电子等负电荷，实际受力方向与按左手定则所得方向相反；从而确定电荷积累侧和霍尔电压极性。

适用范围与条件

上述推导基于以下条件：载流导体为长方体，电流方向与磁场方向垂直；载流子为单一类型，且处于动态平衡；忽略载流子速度的统计分布。若磁场与电流方向夹角为 θ，则有效磁场为 Bsinθ，霍尔电压修正为 U_H = K_H I B sinθ。霍尔元件通常采用 N 型半导体材料，因为多数常见半导体中电子迁移率大于空穴迁移率，可提高灵敏度；该优势主要体现在恒压激励或考虑元件电阻、功耗等场合。在恒定控制电流且单载流子模型下，霍尔灵敏度 K_H = 1/(ned) 不直接依赖迁移率。