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核心第2章 · 传感器的基本特性

传感器常系数线性微分方程模型

也称：传感器的一般数学模型

一句话看懂

在限定范围内把传感器视为常系数线性系统，其输入输出关系由常系数线性微分方程描述，系数由装置本身决定，多数传感器可简化为零阶、一阶或二阶三种形式。

常系数线性系统模型

对随时间变化的输入信号，为分析传感器的动态特性，需要建立其数学模型。在限定的工作范围内，大多数实际测量装置可视为常系数线性系统：输入为激励 $x (t)$ ，输出为响应 $y (t)$ ，二者关系由常系数线性微分方程描述。

一般形式为

a_{n} \frac{d^{n} y}{d t^{n}} + \dots + a_{1} \frac{d y}{d t} + a_{0} y = b_{m} \frac{d^{m} x}{d t^{m}} + \dots + b_{1} \frac{d x}{d t} + b_{0} x

方程左侧是输出 $y$ 及其各阶导数的线性组合，右侧是输入 $x$ 及其各阶导数的线性组合。各系数 $a_{i}$ 、 $b_{j}$ 仅取决于传感器装置本身的特性，与输入信号的形式无关。

三种简化形式

绝大多数传感器的输入输出关系可用零阶、一阶或二阶微分方程描述。

零阶传感器：

a_{0} y = b_{0} x

一阶传感器：

a_{1} \frac{d y}{d t} + a_{0} y = b_{0} x

二阶传感器：

a_{2} \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + a_{1} \frac{d y}{d t} + a_{0} y = b_{0} x

一阶形式的标准写法与参数

一阶传感器的微分方程可改写为

τ \frac{d y (t)}{d t} + y (t) = S_{n} x (t)

式中 $τ$ 为传感器的时间常数，具有时间量纲， $τ = a_{1} / a_{0}$ ； $S_{n}$ 为传感器的静态灵敏度， $S_{n} = b_{0} / a_{0}$ 。其传递函数为

H (s) = \frac{S_{n}}{τ s + 1}

二阶形式的标准写法与参数

典型二阶传感器的微分方程为

a_{2} \frac{d^{2} y (t)}{d t^{2}} + a_{1} \frac{d y (t)}{d t} + a_{0} y (t) = b_{0} x (t)

其传递函数为

H (s) = \frac{S_{n} ω_{n}^{2}}{s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2}}

式中 $ω_{n}$ 为固有角频率， $ζ$ 为阻尼比， $S_{n}$ 为静态灵敏度。

适用范围

上述常系数线性微分方程模型只在限定范围内成立，即传感器在该范围内可近似看作常系数线性系统。系数由装置本身决定，因此同一装置在不同工作条件下若系数发生变化，模型需相应修正。

扩展进一步了解

系数与物理模型

教材以材料特性和结构参数作为系数来源，但没有一张适用于所有原理的参数对照表。要推具体系数，应先明确储能、阻尼、换能及边界条件，再从相应物理关系建模或标定。不能把某个系数一律称同一几何尺寸，也不能越过近似范围。

测试

基础测试

基础测试统一使用选择题，先确认概念、定义和关键判断是否扎实。

选择题

一阶传感器的微分方程标准形式为 $τ \frac{d y}{d t} + y = S_{n} x$ ，其中时间常数 $τ$ 与方程系数 $a_{1}$ 、 $a_{0}$ 的关系是

选择题

关于常系数线性微分方程模型中系数 $a_{i}$ 、 $b_{j}$ 的说法，正确的是

选择题

下列微分方程中，属于零阶传感器输入输出关系的是

知识关联

前置知识

线性时不变系统传递函数常系数线性微分方程与线性叠加

当前知识传感器常系数线性微分方程模型

后续知识

幅频特性零阶传感器阻尼比动态误差传递函数频率响应函数

基本信息

引用本卡（0）

暂无引用。

资料来源 (2)

传感器与检测技术第4版 · 第2章文字行521–535、627–649、683–691基本特性课件 · 原页42、46