泊松比

定义与符号

当金属电阻丝受轴向拉力或压力时，沿轴向发生伸长或缩短，同时沿径向发生缩短或伸长。径向应变 ${\epsilon }_r$ 与轴向应变 ${\epsilon }_L$ 的比值定义为泊松比 $\mu$：

式中，${\epsilon }_r=\mathrm{\Delta }r\mathrm{/}r$ 为径向应变，${\epsilon }_L=\mathrm{\Delta }L\mathrm{/}L$ 为轴向应变。负号表示径向应变与轴向应变方向相反：受拉力时轴向伸长、径向缩小；受压力时轴向缩短、径向增大。

泊松比是无量纲量。对于各向同性线弹性材料，热力学稳定性要求其取值在 $-1\sim 0.5$ 之间；常见金属材料通常约为 $0.3$。负泊松比材料在轴向拉伸时横向也会膨胀，即横向应变与轴向应变同号。

泊松比与电阻变化的关系

金属电阻丝的电阻 $R=\rho L\mathrm{/}A$，受力后长度 $L$、截面积 $A$（或半径 $r$）和电阻率 $\rho$ 均发生变化。对 $R=\rho L\mathrm{/}A$ 取微分并整理，可得电阻相对变化量：

对于半径为 $r$ 的圆截面电阻丝，$A=\pi r^2$。在小变形条件下，面积相对变化的一阶近似为 $\mathrm{\Delta }A\mathrm{/}A\approx 2\mathrm{\Delta }r\mathrm{/}r=2{\epsilon }_r$。代入径向应变与轴向应变的关系 ${\epsilon }_r=-\mu {\epsilon }_L$，得：

由此，电阻丝灵敏度系数 $K$ 为：

其中，$1+2\mu$ 项由几何尺寸变化引起，称为“应变效应”；$\frac{\mathrm{\Delta }\rho \mathrm{/}\rho }{{\epsilon }_L}$ 项由材料电阻率变化引起，称为“压阻效应”。泊松比 $\mu$ 直接决定几何效应的大小。

泊松比在温度补偿电桥中的应用

在受力构件上粘贴两片应变片并接入电桥相邻桥臂，可实现温度补偿并提高灵敏度。设构件受轴向拉力，轴向应变为 $\epsilon$，横向应变为 $-\mu \epsilon$。

• 轴向应变片 $R_1$ 的电阻变化：$\mathrm{\Delta }{R}_1=\epsilon KR+\mathrm{\Delta }{R}_T$
• 横向应变片 $R_2$ 的电阻变化：$\mathrm{\Delta }{R}_2=-\mu \epsilon KR+\mathrm{\Delta }{R}_T$

其中 $\mathrm{\Delta }{R}_T$ 为温度变化引起的电阻变化。两片处于相同温度环境，$\mathrm{\Delta }{R}_T$ 相同。将两片接入电桥相邻桥臂，输出电压 $U_o$ 近似为：

代入 $\mathrm{\Delta }{R}_1$ 和 $\mathrm{\Delta }{R}_2$：

温度项 $\mathrm{\Delta }{R}_T$ 在相减中抵消，消除了温度误差。同时，输出灵敏度是单个应变片的 $1+\mu$ 倍。

若两片均沿轴向平行放置，则 $\mathrm{\Delta }{R}_1=\mathrm{\Delta }{R}_2=\epsilon KR+\mathrm{\Delta }{R}_T$，相减后信号为零，无法测量应变，但温度项同样抵消。因此，利用泊松效应使两片分别感受轴向和横向应变，是既补偿温度又获得应变输出的关键。