径向应变

径向应变的定义

当金属电阻丝或弹性元件沿轴向受力时，其长度发生变化，同时横截面尺寸也发生变化。设电阻丝原半径为 $r$，受力后半径变化量为 $\mathrm{\Delta }r$，则定义径向应变（radial strain）为

径向应变描述的是垂直于轴向的横向尺寸相对变化，是一个无量纲量。

与轴向应变的泊松比关系

轴向应变定义为

基于材料力学，在弹性范围内，径向应变与轴向应变满足

式中 $\mu$ 为电阻丝材料的泊松比。对常见金属等多数材料，$\mu$ 的取值在 $0\sim 0.5$ 之间，通常约为 $0.3$；该范围并非所有弹性材料的普遍范围，例如存在负泊松比材料。式中负号表示在 $\mu >0$ 的常见材料中径向应变与轴向应变方向相反：金属丝受拉力时沿轴向伸长，沿径向缩小；受压力时沿轴向缩短，沿径向增大。对负泊松比材料，横向尺寸变化方向与上述相反。

径向应变对电阻变化的贡献

对金属电阻丝，电阻 $R=\rho L\mathrm{/}A$，其中 $A=\pi r^2$ 为截面积。对 $R$ 取对数并微分，可得

由 $A=\pi r^2$ 得

因变化量很小，将微分量 $\mathrm{d}\rho$、$\mathrm{d}L$、$\mathrm{d}r$ 分别用 $\mathrm{\Delta }\rho$、$\mathrm{\Delta }L$、$\mathrm{\Delta }r$ 代替，得到

将 ${\epsilon }_{\mathrm{L}}=\mathrm{\Delta }L\mathrm{/}L$ 和 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}=\mathrm{\Delta }r\mathrm{/}r=-\mu \epsilon$ 代入，得

由此可见，电阻相对变化由两部分组成：一部分是几何尺寸变化引起的 $(1+2\mu )\epsilon$，称为应变效应；另一部分是材料电阻率变化引起的 $\mathrm{\Delta }\rho \mathrm{/}\rho$，称为压阻效应。

膜片式压力传感器中的径向应变

膜片式压力传感器中，电阻应变片贴于膜片内壁。在压力 $p$ 作用下，膜片产生径向应变 ${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ 和切向应变 ${\epsilon }_{\mathrm{t}}$，其大小分别为

式中 $R$、$h$ 分别为膜片的半径和厚度，$x$ 为距膜片中心的径向距离，$E$ 为膜片材料的弹性模量，$\mu$ 为泊松比。

由上述两式可得膜片上径向应变和切向应变的分布规律：

1. 在膜片中心（$x=0$）处，径向应变与切向应变相等，且均为最大值。
2. 在膜片边缘（$x=R$）处，切向应变为零，径向应变为

其绝对值比中心处高一倍。

1. 在 $x=R\mathrm{/}\sqrt{3}$ 处，径向应变为零。

切向应变始终为非负值，中心处最大；径向应变有正有负，在中心处与切向应变相等，在边缘处最大且为负值，其绝对值为中心处的两倍。在 $x=R\mathrm{/}\sqrt{3}$ 处径向应变为零，贴片时应避开此处。

应变片布置与全桥连接

根据膜片应变分布特点，一般在膜片圆心处沿切向贴两片应变片（如 $R_1$、$R_4$）感受切向应变，因为圆心处切向应变最大；在边缘处沿径向贴两片应变片（如 $R_2$、$R_3$）感受径向应变，因为边缘处径向应变最大。然后将四个应变片接成全桥测量电路，以提高灵敏度和实现温度补偿。