差动输出消除偶次非线性项的推导

差动结构的基本设定

设某传感器的单支路输入—输出关系可用幂级数表示为

其中 $x$ 为被测量（或与被测量成正比的输入量），$y_1$ 为该支路输出，$a_0,a_1,\dots ,a_n$ 为反映该支路特性的常系数。$a_0$ 为零位输出，$a_1$ 为理想线性灵敏度，$a_2,a_3,\dots$ 为各阶非线性系数。

差动传感器由两条特性相同的支路构成，工作时使两条支路受到大小相等、方向相反的输入：一条为 $x$，另一条为 $-x$。于是第二条支路的输出为

利用 $(-x{)}^k=(-1{)}^k{x}^k$，即偶次幂取正、奇次幂取负，得

相减消去偶次项

差动输出的定义是两支路输出之差：

逐项相减：

• 常数项：$a_0-a_0=0$，零位输出被消去；
• 一次项：$a_{1}x-(-a_{1}x)=2a_{1}x$；
• 二次项：$a_2{x}^2-a_2{x}^2=0$；
• 三次项：$a_3{x}^3-(-a_3{x}^3)=2a_3{x}^3$；
• 一般地，偶次项 $a_{2m}{x}^{2m}$ 在 $y_1$ 与 $y_2$ 中符号相同，相减为零；奇次项 $a_{2m+1}{x}^{2m+1}$ 在 $y_1$ 与 $y_2$ 中符号相反，相减后加倍。

因此

即差动输出中只保留奇次项，且各奇次项系数变为原来的两倍；所有偶次项（含常数项）被消除。

对线性度的意义

单支路中，$a_2{x}^2$ 等偶次项是造成输出偏离直线的非线性成分之一。差动相减后这些偶次成分不再出现，剩余非线性只来自 $a_3{x}^3,a_5{x}^5,\dots$ 等奇次高次项。当 $x$ 较小时，$x^3$ 及更高次项相对 $a_{1}x$ 很小，输出近似为

即差动输出在小信号范围内近似线性，且灵敏度约为单支路的两倍。这就是差动结构改善线性度的基本原理。

条件与适用范围

上述推导成立需要满足以下条件：

1. 两条支路的特性相同，即具有相同的系数 $a_0,a_1,\dots ,a_n$；若两路不对称，相减后不能完全消去偶次项。
2. 两路输入严格等值反向，即分别为 $x$ 与 $-x$；否则对称性被破坏。
3. 输出取两者之差 $y_1-y_2$；若取和，则偶次项加倍而奇次项相消，效果相反。
4. 该结论针对可用幂级数描述的非线性特性；它消除的是偶次非线性项，不能消除奇次非线性项。相减后奇次项（包括三次项）的系数变为原来的两倍，故奇次非线性项仍然存在，只是其相对大小取决于与线性项 $2a_{1}x$ 的比值。

符号与单位

$x$：输入量，单位由被测量决定；$y_1,y_2,y$：输出量，单位由传感器输出类型决定；$a_k$：第 $k$ 阶特性系数，其单位使 $a_k{x}^k$ 与输出同量纲。