莫尔条纹间距与位移关系推导

定义与几何模型

莫尔条纹是两片栅距相同的光栅以很小夹角 θ 叠合时，由两组栅线交点连线形成的明暗相间条纹。设光栅栅距为 W，它由透光缝宽 a 与遮光缝宽 b 组成，即

两光栅栅线方向相差 θ，栅线交点沿垂直于条纹方向等间距排列，这个间距就是莫尔条纹间距 BH。

条纹间距与栅距、夹角的关系

用栅线法向的空间波矢描述两组等栅距栅线。两波矢 ${\mathit{k}}_1,{\mathit{k}}_2$ 的模均为 $k=2\pi \mathrm{/}W$，夹角为 $\theta$。相对条纹相位由 $\mathrm{\Delta }\mathit{k}={\mathit{k}}_1-{\mathit{k}}_2$ 决定，其模为 $2k\sin (\theta \mathrm{/}2)$；沿其方向相对相位每变化 $2\pi$，形成一个条纹周期。因此

这一定义避免把栅线交点菱形的边长误作栅距：栅距是同一组相邻栅线的法向距离，不能直接认作交点菱形边长。

当 θ 很小时，$\sin (\theta \mathrm{/}2)\approx \theta \mathrm{/}2$（θ 以弧度计），于是

式中 W 为光栅栅距（单位 mm），θ 为两光栅夹角（单位 rad），BH 为莫尔条纹间距（单位 mm）。该近似在 θ 足够小、满足小角近似时成立。

放大作用

由于 θ 远小于 1 rad，BH 远大于 W，即莫尔条纹间距被放大。例如 W=0.02 mm、θ=0.1° 时，θ 换算为弧度约 0.001745 rad，BH≈11.4592 mm，约为 573W。这说明用肉眼或普通光电元件直接分辨 W 量级的栅距很困难，而分辨被放大数百倍的 BH 则容易得多。

条纹位移与光栅位移的换算

莫尔条纹的移动方向与光栅移动方向有关：一片光栅沿垂直于栅线方向移动时，条纹沿垂直于条纹方向移动。定量关系为：光栅每移动一个栅距 W，莫尔条纹移动一个条纹间距 BH。因此若测得条纹移过的数目 N，则光栅（被测物体）的位移为

若测得条纹移动的连续距离为 s，则对应光栅位移为

式中 N 为条纹移过的数目（无量纲），s 为条纹移动距离（mm），x 为光栅位移（mm）。这一换算把对条纹大位移的测量转换为对光栅小位移的测量，是光栅传感器细分与计数的基本依据。

适用范围与条件

上述关系建立在两光栅栅距相同、夹角 θ 很小且稳定的前提下；θ 越小，BH 越大，放大倍数越高，但条纹越宽、对比度可能下降，实际取值需兼顾放大与信号质量。公式中的 θ 必须用弧度代入，若用角度需先换算。