阶跃折射率光纤

定义与折射率分布

阶跃折射率光纤（step-index fiber）指横截面上折射率呈阶跃分布的光纤：纤芯折射率 $n_1$ 为常数，包层折射率 $n_2$ 为常数，二者在芯包边界处发生明显突变。为使光能被约束在纤芯内，须满足 $n_1>n_2$。若以半径 $r$ 为横坐标、折射率 $n$ 为纵坐标，其分布曲线呈矩形。与之相对的是渐变型光纤：纤芯折射率不是常数，而是随半径增大从中心值 $n_m$ 逐渐递减，到纤芯边缘处等于包层折射率 $n_c$。

子午射线与斜射线

光从入射端面耦合进光纤后，按传播路径分为两类：

• 子午射线：始终在包含光纤中心轴线的平面（子午面）内传播，一个传播周期内与轴线相交两次，在芯包界面上呈锯齿状反射。
• 斜射线：传播过程中不在一个固定平面内，且不与光纤轴线相交。

全反射条件与数值孔径

设纤芯半径为 $a$、包层半径为 $b$，光在芯包界面上的入射角为 $\varphi$。由 Snell 定理，发生全反射的临界条件为
$\sin {\varphi }_c=\frac{n_2}{n_1}$
即界面入射角 $\varphi \ge {\varphi }_c$ 时发生全反射。

设光从空气（折射率 $n_0\approx 1$）以入射角 $\theta$ 射到光纤端面，折射角为 ${\theta }_1$，由折射定律
$\frac{\sin {\theta }_1}{\sin \theta }=\frac{n_0}{n_1}=\frac{1}{n_1}$
端面折射后的光线与轴线夹角为 ${\theta }_1$，该光线到达芯包界面时的入射角 $\varphi$ 与 ${\theta }_1$ 互余，故 $\sin \varphi =\cos {\theta }_1$。将全反射临界条件代入，可得能在纤芯中持续全反射传输的最大端面入射角 ${\theta }_{max}$ 满足
$\sin {\theta }_{max}=\sqrt{n_1^2-n_2^2}$
该值即光纤的数值孔径 $NA$，它表征光纤端面接收光的能力，只由 $n_1$、$n_2$ 决定，与纤芯直径无关。

模式条件

上述几何光学的全反射条件只说明光线能否被约束在纤芯内，并不保证其相位在绕轴一周后自洽。只有满足相位自洽条件（横向谐振条件）的离散入射角对应的光线才能在光纤中稳定存在，每一种稳定传播的光场分布称为一个模式。阶跃折射率光纤中，模式由归一化频率 $V$ 决定：
$V=\frac{2\pi a}{\lambda }\sqrt{n_1^2-n_2^2}$
其中 $a$ 为纤芯半径（单位 m），$\lambda$ 为真空中波长（单位 m）。$V$ 值越大，允许传播的模式数越多；$V$ 小于某一临界值时只支持一种模式（单模传输）。

适用范围

• 上述全反射与数值孔径公式适用于子午射线、芯包折射率均为常数且 $n_1>n_2$ 的阶跃光纤。
• 斜射线不满足子午面的几何关系，其全反射条件与模式条件需另行分析。
• 光纤弯曲时，子午射线路径随光纤弯曲而改变；弯曲半径过小会使部分光线的界面入射角小于临界角而逸出纤芯，造成弯曲损耗。