空间力矩与多通道解耦

空间力矩的物理含义与三维正交分解

力矩是力对物体产生转动效应的量度。对参考点 $O$，力 $\mathbf{F}$ 作用点位置矢量为 $\mathbf{r}$，则力矩定义为

其中 $\mathbf{r}$ 为从参考点到力作用点的位置矢量，$\mathbf{F}$ 为作用力，$\mathbf{M}$ 为力矩矢量。力矩的方向由右手定则确定，垂直于 $\mathbf{r}$ 与 $\mathbf{F}$ 所构成的平面；大小为 $\mathrm{\mid }\mathbf{M}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathbf{r}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\mathbf{F}\mathrm{\mid }\sin \theta$，$\theta$ 为 $\mathbf{r}$ 与 $\mathbf{F}$ 的夹角。

在三维直角坐标系中，力矩可沿三个正交坐标轴分解为三个分量：

其中 $M_x$、$M_y$、$M_z$ 分别为绕 $x$、$y$、$z$ 轴的力矩分量，$\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$、$\mathbf{k}$ 为坐标轴单位矢量。同理，力也可分解为 $\mathbf{F}=F_x\mathbf{i}+F_y\mathbf{j}+F_z\mathbf{k}$。六个分量 $F_x,F_y,F_z,M_x,M_y,M_z$ 共同描述作用在物体上的空间力系，称为六轴力/力矩分量。

正交分解的意义在于：任意空间力系对刚体的作用可等效为沿三个正交轴的力与绕三个正交轴的力矩的组合。各分量相互独立，分别对应沿轴平动与绕轴转动的效应。

多通道独立测量与解耦的基本概念

多通道测量指用多个传感通道同时获取多个被测量的过程。若每个通道的输出仅与被测的一个分量有关，而与其他分量无关，则称各通道相互独立或已解耦。

设被测物理量向量为 $\mathbf{q}=[q_1,q_2,\dots ,q_n{]}^T$，传感器各通道输出向量为 $\mathbf{u}=[u_1,u_2,\dots ,u_m{]}^T$。一般情况下输出与输入的关系可写为

其中 $\mathbf{C}$ 为 $m\times n$ 的灵敏度矩阵（或耦合矩阵），$\mathbf{n}$ 为噪声与干扰向量。当 $\mathbf{C}$ 为对角矩阵时，各通道完全独立；当 $\mathbf{C}$ 存在非对角元时，通道间存在耦合，即某一分量的变化会引起多个通道输出变化。

解耦的目标是由测得的 $\mathbf{u}$ 反求 $\mathbf{q}$。当 $\mathbf{C}$ 可逆时，

${\mathbf{C}}^{-1}$ 称为解耦矩阵或标定逆矩阵。实际中 $\mathbf{C}$ 通过标定实验测定：依次单独施加各分量，记录各通道输出，构成矩阵的各列。

独立通道数的判据是矩阵 $\mathbf{C}$ 的秩。若 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{C})=n$，则 $n$ 个分量均可独立求解；若秩小于 $n$，则存在不可分辨的分量组合，无法完全解耦。因此要求通道数 $m\ge n$，且 $\mathbf{C}$ 列满秩。

应变信号解耦为各轴力/力矩分量

在应变式六轴力/力矩传感器中，弹性元件在不同方向的力与力矩作用下产生不同的应变分布。通过合理布置应变片并组成测量桥路，使各桥路输出对应特定的应变组合。

设第 $j$ 个桥路输出为 $u_j$，六个力/力矩分量为 $F_x,F_y,F_z,M_x,M_y,M_z$。在小变形线性范围内，桥路输出与各分量近似成线性关系：

写成矩阵形式：

其中 $\mathbf{f}=[F_x,F_y,F_z,M_x,M_y,M_z{]}^T$，$\mathbf{C}$ 为标定矩阵，其元素 $c_{ji}$ 表示第 $i$ 个分量对第 $j$ 个桥路输出的贡献系数。

解耦过程为：先通过标定实验测定 $\mathbf{C}$，再对其求逆得到解耦矩阵 ${\mathbf{C}}^{-1}$，实际测量时由桥路输出计算各分量：

实现完全解耦的条件是：$\mathbf{C}$ 为方阵且满秩，或当桥路数多于六路时 $\mathbf{C}$ 列满秩，用最小二乘求解 $\mathbf{f}=({\mathbf{C}}^T\mathbf{C}{)}^{-1}{\mathbf{C}}^T\mathbf{u}$。

标定矩阵的测定方法：依次单独施加已知的 $F_x,F_y,F_z,M_x,M_y,M_z$，记录各桥路输出，将每组输出作为 $\mathbf{C}$ 的一列。标定过程中应保持其他分量为零，并在线性范围内进行。

解耦的物理基础在于：不同方向的力/力矩在弹性元件上产生的应变分布不同，通过应变片的合理布置与桥路组合，可使各桥路对不同分量的灵敏度存在差异，从而通过矩阵求逆分离出各分量。若某两个分量在所有桥路中产生的输出模式相同（即 $\mathbf{C}$ 的对应列线性相关），则无法区分这两个分量，解耦失效。