电阻几何模型

基本关系

一段均匀导体或电阻体的电阻由几何尺寸和材料电阻率决定：

其中 $R$ 为电阻，单位为欧姆（$\mathrm{\Omega }$）；$\rho$ 为电阻率，单位为欧姆·米（$\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}$）；$l$ 为电流通过方向上的有效长度，单位为米（$\mathrm{m}$）；$A$ 为垂直于电流方向的截面积，单位为平方米（${\mathrm{m}}^2$）。

该式成立的条件是：导体材料均匀、截面积沿长度方向一致、电流方向与长度方向一致。

变阻式传感器中的几何改变

电位器式传感器以该式为工作原理基础。电阻体上有一个可移动触点，触点位置决定接入测量电路的那一段电阻体的有效长度 $l$。当触点沿电阻体滑移或绕轴转动时，$l$ 改变，而 $\rho$ 和 $A$ 基本不变，于是输出电阻随位移改变。

• 直线位移型：触点沿直线方向滑动，接入长度随直线位移变化。
• 角位移型：触点由中心转轴带动在环形电阻体上旋转，接入长度随转角变化。

两种结构都通过改变有效电阻长度 $l$ 把机械位移转换为电阻变化，属于变阻式（电位器式）传感器。

从全微分看电阻变化的来源

对 $R=\rho l\mathrm{/}A$ 取全微分，电阻变化由电阻率、长度、截面积三部分贡献：

代入各偏导数得：

两边除以 $R=\rho l\mathrm{/}A$，得到相对变化量关系：

该式表明：长度增加使电阻增大，截面积增加使电阻减小，电阻率变化也会改变电阻。

圆截面电阻丝的常用形式

对半径为 $r$ 的圆截面电阻丝，$A=\pi r^2$，故 $dA=2\pi rdr$，代入上式可得：

当形变量很小时，可用绝对变化量近似替代微分量，即用 $\mathrm{\Delta }R\mathrm{/}R$、$\mathrm{\Delta }l\mathrm{/}l$、$\mathrm{\Delta }r\mathrm{/}r$、$\mathrm{\Delta }\rho \mathrm{/}\rho$ 分别代替 $dR\mathrm{/}R$、$dl\mathrm{/}l$、$dr\mathrm{/}r$、$d\rho \mathrm{/}\rho$。

两类应用的侧重点

• 电位器式传感器：主要利用触点位置改变有效长度 $l$，$\rho$ 和 $A$ 近似不变，$dR\mathrm{/}R$ 主要由 $dl\mathrm{/}l$ 决定。
• 电阻应变片：电阻丝受力后长度、直径和电阻率同时变化，$dR\mathrm{/}R$ 由 $d\rho \mathrm{/}\rho$、$dl\mathrm{/}l$ 和 $-2dr\mathrm{/}r$ 三项共同决定。