电阻串联与并联等效

电阻串联与并联等效

一、电阻串联等效

定义：两个或多个电阻依次首尾相接，中间无分支，流过同一电流，这种连接方式称为电阻串联。

等效电阻：串联电阻的等效电阻等于各电阻阻值之和。

设串联电阻为 $R_1,R_2,\dots ,R_n$，等效电阻为 $R_{\text{eq}}$，则

推导：串联电路中各电阻流过同一电流 $I$，各电阻两端电压分别为 $U_1=I{R}_1$，$U_2=I{R}_2$，$\dots$，$U_n=I{R}_n$。总电压为各分电压之和：

由欧姆定律 $U=I{R}_{\text{eq}}$，得 $R_{\text{eq}}=R_1+R_2+\cdots +R_n$。

条件：各电阻串联，流过同一电流，无分支。

二、电阻并联等效

定义：两个或多个电阻首端相连、尾端相连，各电阻两端承受同一电压，这种连接方式称为电阻并联。

等效电阻：并联电阻的等效电阻的倒数等于各电阻阻值的倒数之和。

设并联电阻为 $R_1,R_2,\dots ,R_n$，等效电阻为 $R_{\text{eq}}$，则

推导：并联电路中各电阻两端电压相同，均为 $U$，各电阻电流分别为 $I_1=U\mathrm{/}{R}_1$，$I_2=U\mathrm{/}{R}_2$，$\dots$，$I_n=U\mathrm{/}{R}_n$。总电流为各分电流之和：

由欧姆定律 $I=U\mathrm{/}{R}_{\text{eq}}$，得 $\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots +\frac{1}{R_n}$。

条件：各电阻并联，两端承受同一电压，无分支。

三、两个电阻并联的常用形式

当 $n=2$ 时，由 $\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ 可得

该式称为两电阻并联的“积除以和”公式，仅适用于两个电阻并联的情形。

四、必要关系

• 串联等效电阻必大于其中任一电阻；并联等效电阻必小于其中任一电阻。
• 串联用于增大阻值，并联用于减小阻值。
• 串联与并联等效是线性电阻网络化简的基础：任意由电阻构成的线性网络，均可通过串联、并联等效逐步化简为单一等效电阻。
• 串联时各电阻电流相同，电压按阻值比例分配；并联时各电阻电压相同，电流按阻值反比例分配。

五、符号与条件

• $R_1,R_2,\dots ,R_n$：各串联或并联电阻的阻值，单位欧姆（$\mathrm{\Omega }$）。
• $R_{\text{eq}}$：等效电阻，单位欧姆（$\mathrm{\Omega }$）。
• $I$：流过串联电阻的电流或并联电路的总电流，单位安培（A）。
• $U$：并联电阻两端的电压或串联电路的总电压，单位伏特（V）。
• 适用条件：电阻为线性电阻，即阻值不随电压、电流变化；串联时无分支且电流相同，并联时两端电压相同。