复合函数求导与商法则

复合函数求导与商法则

一、复合函数求导（链式法则）

设 $y=f(u)$，$u=g(x)$，且 $f$ 在 $u$ 处可导、$g$ 在 $x$ 处可导，则复合函数 $y=f(g(x))$ 在 $x$ 处可导，且

即：对外层函数求导（内层函数作为整体代入），再乘以内层函数的导数。

多层复合可逐层展开：若 $y=f(u)$，$u=g(v)$，$v=h(x)$，则

条件：各层在对应点可导。

二、商法则

设 $u(x)$、$v(x)$ 在 $x$ 处可导，且 $v(x)\mathrm{\ne }0$，则

记忆要点：分母平方作分母，分子为“分子导数乘分母减分子乘分母导数”。

特例：当 $u=1$ 时，${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{v^{\mathrm{\prime }}}{v^2}}$。

三、链式法则与商法则的联合使用

当被求导的函数同时包含复合与商的结构时，需先判断外层运算，再逐层应用相应法则。

示例结构：设 $R_g=R_V+{\displaystyle \frac{R_T{R}_P}{R_T+R_P}}$，其中 $R_T=R_T(T)$ 为温度的函数，$R_V$、$R_P$ 为常数。

对 $T$ 求导：

1. 常数项 $R_V$ 导数为 $0$。
2. 对商 ${\displaystyle \frac{R_T{R}_P}{R_T+R_P}}$ 应用商法则，其中分子 $u=R_T{R}_P$，分母 $v=R_T+R_P$：

1. 其中 $(R_T{R}_P{)}^{\mathrm{\prime }}=R_P{\displaystyle \frac{d{R}_T}{dT}}$（$R_P$ 为常数），$(R_T+R_P{)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{d{R}_T}{dT}}$。

1. 整理得：

四、在热敏电阻线性化中的应用

热敏电阻的 B 值模型为

其中 $R_0$ 为参考温度 $T_0$ 下的电阻，$B$ 为材料常数。

对 $T$ 求导，外层为指数函数，内层为 ${\displaystyle \frac{B}{T}}-{\displaystyle \frac{B}{T_0}}$：

定义电阻温度系数 $\alpha ={\displaystyle \frac{1}{R_T}}{\displaystyle \frac{d{R}_T}{dT}}$，则

此式说明热敏电阻的电阻温度系数为负值，且随温度升高其绝对值减小。

将 ${\displaystyle \frac{d{R}_T}{dT}}=\alpha R_T$ 代入前节 ${\displaystyle \frac{d{R}_g}{dT}}$ 的结果，可得组合电阻 $R_g$ 的温度系数：

该表达式用于分析并联电阻网络对热敏电阻线性化的影响。

五、使用条件与注意事项

• 链式法则要求各层函数在对应点可导。
• 商法则要求分母不为零。
• 求导前应先明确自变量与各量的依赖关系（哪些是常数、哪些是函数）。
• 对复合结构求导时，先识别最外层运算（和、积、商、复合），再逐层向内应用相应法则。