周期信号与谐波分解

周期信号与谐波分解

定义

周期信号：若存在最小正数 $T$，使对任意 $t$ 有 $x(t)=x(t+T)$，则 $x(t)$ 为周期信号，$T$ 为周期。

基频：周期信号最低次谐波的频率，记为 $f_0$，对应角频率 ${\omega }_0=2\pi f_0=2\pi \mathrm{/}T$。基频由波形重复周期决定，与波形形状无关。

谐波：频率为基频整数倍 $n{f}_0$（$n=1,2,\dots$）的正弦分量。$n=1$ 为基波，$n\ge 2$ 为高次谐波。

周期信号的谐波分解

满足狄里赫利条件的周期信号可展开为傅里叶级数：

其中 $a_0$ 为直流分量，$a_n$、$b_n$ 为各次谐波系数。也可写成幅相形式：

$A_n$ 为第 $n$ 次谐波幅值，${\phi }_n$ 为相位。各次谐波频率均为基频整数倍，这是周期信号频谱的离散性来源。

非周期信号的频谱分解

非周期信号可视为周期 $T\to \mathrm{\infty }$ 的极限。此时基频 ${\omega }_0\to 0$，离散谱线趋于连续，傅里叶级数过渡为傅里叶积分：

$X(\omega )$ 为频谱密度，反映各频率分量的相对幅值与相位。非周期信号由此分解为连续频率上各次谐波分量的叠加，得到连续频谱。

必要关系

• 周期信号频谱为离散谱，谱线间隔 ${\omega }_0$；非周期信号频谱为连续谱。
• 周期 $T$ 越大，${\omega }_0$ 越小，谱线越密；$T\to \mathrm{\infty }$ 时谱线间隔趋于零，离散谱过渡为连续谱。
• 信号最高角频率 ${\omega }_{\max }$ 由所含最高次有效谐波决定。工程近似中，若波形平滑，${\omega }_{\max }$ 可用基频的 2~3 倍代替；波形含陡变时需取更高次谐波。

公式符号与条件

• $T$：周期，单位 s；$f_0=1\mathrm{/}T$：基频，单位 Hz；${\omega }_0=2\pi \mathrm{/}T$：基波角频率，单位 rad/s。
• $n$：谐波次数，正整数；$A_n$、${\phi }_n$：第 $n$ 次谐波幅值与相位。
• 傅里叶级数收敛条件：信号在一个周期内绝对可积，且间断点有限、极值有限（狄里赫利条件）。
• 傅里叶变换存在条件：$x(t)$ 绝对可积，即 。