函数变化率与差商

函数变化率与差商

定义

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[x_0,x_0+\mathrm{\Delta }x]$ 上有定义，$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\ne }0$。函数值增量

与自变量增量 $\mathrm{\Delta }x$ 之比

称为 $f$ 在区间 $[x_0,x_0+\mathrm{\Delta }x]$ 上的平均变化率，也称差商。它表示自变量每改变一个单位时，函数值平均改变多少。

若 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时差商的极限存在，则称该极限为 $f$ 在 $x_0$ 处的瞬时变化率，即导数：

导数存在时，称 $f$ 在 $x_0$ 处可导。

必要关系与推导

差商与导数的关系。 差商是区间上的平均变化率，导数是差商当区间长度趋于零时的极限，即点处的局部变化率。若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，则

因此当 $\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }x\mathrm{\mid }$ 充分小时，有一阶近似

该式表明：小增量下函数值增量近似与自变量增量成正比，比例系数为 $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)$。

切线斜率。 在曲线 $y=f(x)$ 上取点 $P(x_0,f(x_0))$ 与邻近点 $Q(x_0+\mathrm{\Delta }x,f(x_0+\mathrm{\Delta }x))$，割线 $PQ$ 的斜率为差商 $\mathrm{\Delta }y\mathrm{/}\mathrm{\Delta }x$。当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时，$Q$ 沿曲线趋于 $P$，割线趋于极限位置，即曲线在 $P$ 处的切线。故切线斜率

于是导数的几何意义是曲线在该点切线的斜率；平均变化率是割线斜率。

线性化。 由一阶近似，曲线在 $x_0$ 附近可用切线

近似代替。当 $\mathrm{\mid }x-x_0\mathrm{\mid }$ 很小时，用切线代替曲线产生的误差是比 $\mathrm{\mid }x-x_0\mathrm{\mid }$ 高阶的无穷小。

公式符号及条件

• $x_0$：考察点；$\mathrm{\Delta }x$：自变量增量，$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\ne }0$。
• $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$：函数值增量。
• $\mathrm{\Delta }y\mathrm{/}\mathrm{\Delta }x$：平均变化率（差商），要求 $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\ne }0$。
• $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)={\lim }_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\mathrm{\Delta }y\mathrm{/}\mathrm{\Delta }x$：瞬时变化率（导数），要求极限存在。
• $k=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)$：曲线在 $x_0$ 处切线斜率，要求 $f$ 在 $x_0$ 处可导。
• $\mathrm{\Delta }y\approx f^{\mathrm{\prime }}(x_0)\mathrm{\Delta }x$：一阶近似，要求 $f$ 在 $x_0$ 处可导且 $\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }x\mathrm{\mid }$ 充分小。

与传感器表述的联系

传感器中常用输出量 $y$ 对输入量 $x$ 的导数 $dy\mathrm{/}dx$ 表示灵敏度，即工作点附近的局部变化率；用差商 $\mathrm{\Delta }y\mathrm{/}\mathrm{\Delta }x$ 表示区间上的平均灵敏度。当输入变化量很小时，可用一阶近似 $\mathrm{\Delta }y\approx (dy\mathrm{/}dx)\mathrm{\Delta }x$ 估计输出变化。若关系为线性 $y=kx+b$，则差商恒为 $k$，导数也为 $k$，平均变化率与瞬时变化率相等，切线斜率处处相同。