立体角

立体角

定义

立体角是描述空间中一个锥体所张角度范围的几何量。以锥体顶点为球心作半径为 $r$ 的球面，锥面在球面上截取的面积为 $A$，则立体角定义为

立体角是无量纲量，其单位为球面度，符号为 $\mathrm{s}\mathrm{r}$。

必要关系与推导

整个球面对球心所张的立体角为

因此，$1\mathrm{s}\mathrm{r}$ 对应球面上面积等于半径平方的区域。若锥体在球面上截取的面积 $A=r^2$，则 $\mathrm{\Omega }=1\mathrm{s}\mathrm{r}$。

对于小立体角，若已知球面上面积元 $\mathrm{d}A$ 与半径 $r$，则

在球坐标中，面积元可写为 $\mathrm{d}A=r^2\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$，因此

其中 $\theta$ 为极角，$\phi$ 为方位角。

公式符号及条件

• $\mathrm{\Omega }$：立体角，单位 $\mathrm{s}\mathrm{r}$；
• $A$：锥面在球面上截取的面积，单位 ${\mathrm{m}}^2$；
• $r$：球半径，单位 $\mathrm{m}$；
• $\theta$：极角，单位 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$；
• $\phi$：方位角，单位 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$。

上述定义要求锥体顶点位于球心，且球面为以该顶点为球心的球面。立体角仅由锥体的几何形状决定，与球半径 $r$ 无关。

在辐射描述中的作用

立体角用于描述辐射在空间中的角度分布。例如，若点源在某一方向上的辐射强度为 $I$，则该方向在立体角 $\mathrm{\Omega }$ 内发出的辐射通量 $\mathrm{\Phi }$ 满足

当 $\mathrm{\Omega }$ 取单位立体角 $1\mathrm{s}\mathrm{r}$ 时，$\mathrm{\Phi }$ 在数值上等于 $I$，这正是辐射强度定义中“单位立体角”的含义。