机械波与驻波基础

机械波（弹性波）

弹性介质由大量彼此以弹性力相互作用的质点组成。当介质中某处质点受到扰动而偏离平衡位置时，该质点因弹性回复力产生振动，并通过质点间的弹性相互作用带动相邻质点振动，扰动便由近及远传播，形成机械波（弹性波）。

波传播的是振动状态与能量，介质中各质点只在各自平衡位置附近振动，并不随波迁移。设质点位移为 $u$，位置为 $x$，时间为 $t$，则波场可写为 $u=u(x,t)$。沿 $x$ 方向传播的简谐波可表示为

其中 $A$ 为振幅，$k=2\pi \mathrm{/}\lambda$ 为波数，$\lambda$ 为波长，$\omega =2\pi f$ 为角频率，$f$ 为频率，${\phi }_0$ 为初相位。波速 $c$、波长与频率满足 $c=\lambda f=\omega \mathrm{/}k$。波速由介质弹性性质与密度决定，频率由波源决定。

驻波

两列振幅相同、频率相同、传播方向相反的波叠加时，合成波不再表现为单向传播，而形成驻波。设两列波分别为

叠加得

合成波振幅随位置变化，为 $2A\mathrm{\mid }\cos (kx)\mathrm{\mid }$，而各点均以同一角频率 $\omega$ 作简谐振动。振幅最大的位置称为波腹，满足 $kx=n\pi$，即 $x=n\lambda \mathrm{/}2$；振幅为零的位置称为波节，满足 $kx=(n+1\mathrm{/}2)\pi$，即 $x=(n+1\mathrm{/}2)\lambda \mathrm{/}2$，$n$ 为整数。相邻波腹与波节间距均为 $\lambda \mathrm{/}4$，相邻波节间距为 $\lambda \mathrm{/}2$。

驻波中波节两侧质点振动相位相反，波节处无能量通过；能量在波腹与波节之间往复转换，不沿传播方向净输运。形成稳定驻波的条件是两列反向传播波振幅相同且频率相同，通常由波在边界反射并与入射波叠加实现。