薄透镜成像与物像关系

薄透镜成像与物像关系

定义

薄透镜指厚度远小于物距、像距和焦距的透镜，可忽略光线在透镜内部的传播距离，认为折射发生在同一平面。凸透镜（会聚透镜）对平行于主光轴入射的光线会聚于焦点，焦点到透镜中心的距离为焦距 $f$，$f>0$。

物像关系

设物距 $u$ 为物体到透镜中心的距离，像距 $v$ 为像到透镜中心的距离，均取正值。凸透镜成实像时满足薄透镜公式：

由该式可得 $v={\displaystyle \frac{uf}{u-f}}$。当 $u>2f$ 时，，成倒立缩小实像；当 $u=2f$ 时，$v=2f$，成倒立等大实像；当 时，$v>2f$，成倒立放大实像；当 $u=f$ 时，$v\to \mathrm{\infty }$，不成像；当 时，，成正立放大虚像，此时公式仍成立但像距取负值。

放大率

横向放大率 $m$ 定义为像高 $h^{\mathrm{\prime }}$ 与物高 $h$ 之比：

负号表示实像倒立。$\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }>1$ 为放大， 为缩小。

与摄像头成像几何的联系

摄像头可近似为薄透镜系统：镜头焦距 $f$ 固定，感光面（CCD/CMOS）位于像距 $v$ 处，物体在物距 $u$ 处。由薄透镜公式，物距与像距一一对应。当目标实际尺寸为 $H$，其在感光面上成像高度为 $h^{\mathrm{\prime }}$，则 $h^{\mathrm{\prime }}=H\cdot \mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }=H\cdot v\mathrm{/}u$。若像元尺寸为 $p$，目标在图像中占 $N$ 个像素，则 $h^{\mathrm{\prime }}=Np$，于是

结合 $1\mathrm{/}u+1\mathrm{/}v=1\mathrm{/}f$，在 $u\gg f$ 时 $v\approx f$，可得近似测距关系：

该式说明：已知目标实际尺寸 $H$、焦距 $f$ 和像元尺寸 $p$ 时，可由像素数 $N$ 估计物距 $u$。此即利用已知目标尺寸与像素尺寸比例估距的几何依据。

适用条件

上述关系成立需满足：透镜为薄透镜；近轴光线近似；物、像、光轴共线；镜头无畸变或畸变已校正；目标尺寸 $H$ 已知且与光轴垂直。若 $u$ 与 $f$ 可比，则不能使用 $v\approx f$ 的近似，须用完整薄透镜公式。